Расчет длины пути резания инструмента со сферической рабочей поверхностью.

Возный В.В. ИСМ НАН Украины, Киев

Эндопротезирование занимает одно из ведущих мест в лечении коленных суставов. Данные зарубежной литературы свидетельствуют, что в эндопротезировании каждый год нуждаются около 200 пациентов из 1 миллиона населения. (Tennat A. et al., 1995). Это значит, что для Украины потребность составляет 10 000 операций по замене коленного сустава ежегодно. Главной целью тотального эндопротезирования коленного сустава (ТЕПКС) является полная реконструкция коленного сустава. До этого времени эндопротезы коленного сустава остаются компромиссом между существующими анатомическими формами суставов, технолого-экономическими возможностями производства и экономическими возможностями конкретной национальной системы охраны здоровья.

Из результатов исследований, опубликованных за последние десять лет, становится очевидным, что анатомическая тотальная замена коленного сустава широко применяется в клинической практике с 95% успеха с учетом наблюдений в течение 5 - 10 лет после операции (Rybka V. et al., 1993). [http://www.ortopedica.org/page4.htm]

При размерной обработке высокопрочных керамических материалов особое влияние на точность профиля оказывает износ инструмента. Определить искажение формы инструмента можно, рассчитав длину его пути, которую должен пройти инструмент до момента коррекции его формы. В случае формообразования рабочих поверхностей эндопротеза коленного сустава это является достаточно сложной задачей, поскольку инструмент заданной (сферической) формы совершает сложные формообразующие движения и инструмент имеет, при этом, 4 степени свободы.

Длина пути инструмента, при формировании поверхностей трения описывается системой уравнений (1):

                                                      (1)

Каждые из уравнений -  и  описывается системой уравнений, и они являются кусочнозаданными функциями. В зависимость от задаваемых параметров фасонной поверхности обрабатываемой детали, инструмента, его размера и параметров процесса обработки величина пути инструмента, который он проходит до коррекции его формы может иметь различные значения. От правильности задания исходных расчетных параметров геометрии поверхности детали, и инструмента, и параметров процесса зависит, и точность определения времени и коррекции формы инструмента.

Длина участков кривых, задаваемых некоторыми функциями  и  на промежутке между двумя значениями их аргументов х₀ и х₁ и у₀ и у₁ определяется путем их интегрирования. Решение данной задачи математического анализа приведено в формуле (2). Следует обратить внимание, что для получения результата необходимо применить одновременно, и операцию численного интегрирования, и дифференцирования.

                                      (2)

И так, длина пути, которую проходит ось инструмента при формировании фасонной поверхности будет равна (3).

          (3)

С учетом формы и размеров инструмента (Рис. 1) можно рассчитать длину пути, которую проходить каждая точка инструмента при формировании фасонной поверхности.

Рис. 1. - Схема расчета параметров инструмента.

Задавая конкретное значение величины h относительно центра сферической поверхности инструмента, на которой проводим секущую плоскость, мы можем получить значение радиуса сферической поверхности в данной плоскости. Таким образом, длина пройденного пути произвольно заданной точки инструмента в сечении, проведенном перпендикулярно оси его вращения, на высоте h определяется по формуле (4):

               (4)

где r может изменяться от 0 до R инструмента в зависимости от величины h.

С учетом количества двойных движений инструмента и продольной его подачи (рис. 2) полная длина пути точки инструмента будет определена как (5):

  (5)

где  - длина обрабатываемой поверхности детали.

- продольная подача инструмента.

Рис. 2. Определение количества проходов до полной обработки поверхности детали.

Зная частоту вращения инструмента, скорость его перемещения относительно формируемой фасонной поверхности в двух взаимно перпендикулярных плоскостях можно определить общую скорость перемещения i-ой точки инструмента относительно формируемой фасонной поверхности (6):

                            (6)

где  - задаются;

Тогда путь, пройденный инструментом до полной обработки детали, будет определен по формуле (7):

 (7)

Для примера рассмотрим расчет длины пути инструмента при формировании рабочей поверхности коленного сустава с заданием лекальных кривых кусочнозаданными функциями на основании кривых второго порядка.

Данная лекальная кривая на основе кусочнзаданных функций описываемых окружностями может быть описана следующей системой уравнений (8):

      (8)

При

В результате проведенных расчетов получен график лекальной кривой (рис. 3).

Рис. 3. График лекальной кривой на основании кусочнозаданной функции описанной окружностями.

в статье [1] рассмотрен пример расчета и описания лекальной кривой для построения математической модели лекальной поверхности коленного сустава исходя из ограничения, что форма инструмента и траектория его перемещения есть ни что иное, как дуги окружностей (частный пример реализации методики расчета лекальной кривой предложенной автором работы [2] Е.А. Стародетко).

Более подробно рассмотрим случай расчета и построения лекальной кривой на основе кусочнзаданных функций описываемых кривыми второго порядка применительно к рабочей поверхности эндопротеза коленного сустава.

Для обобщенного случая расчета и построение лекальной кривой изначально зададим ее тремя функциональными зависимости (9):

                         (9)

Лекальная кривая является кусочнозаданной и описывается системой уравнений (9) представляющих собой кривые второго порядка произвольной формы (параболы, эллипсы и т.д.).

Для простоты проведения расчетов зададимся полиномами имеющими вид (10):

                          (10)

Для расчета и построения лекальной кривой необходимо изначально определить коэффициенты системы уравнений (10), определить координаты характеристических опорных точек и построить по полученным данным три кривые как указанно на расчетной схеме (рис. 4).

Рис. 4. – Лекальная кривая на основе кусочнзаданных функций описываемых кривыми второго порядка.

Для обобщенного расчета уравнения лекальной кривой необходимо провести анализ ее составляющих – подбазисов и координат опорных характеристических точек лекальной кривой.

На основании таблиц приведенных в [3] составляем системы уравнений позволяющих рассчитать коэффициенты полиномов и координаты точек пересечения.

Таблица 1 – Касательные, нормали поляры и фокусы кривых второго порядка

Таблица 2 - Эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения и основные формулы

Расчет длины пути резания инструмента со сферической рабочей поверхностью.

Возный В.В. ИСМ НАН Украины, Киев

Эндопротезирование занимает одно из ведущих мест в лечении коленных суставов. Данные зарубежной литературы свидетельствуют, что в эндопротезировании каждый год нуждаются около 200 пациентов из 1 миллиона населения. (Tennat A. et al., 1995). Это значит, что для Украины потребность составляет 10 000 операций по замене коленного сустава ежегодно. Главной целью тотального эндопротезирования коленного сустава (ТЕПКС) является полная реконструкция коленного сустава. До этого времени эндопротезы коленного сустава остаются компромиссом между существующими анатомическими формами суставов, технолого-экономическими возможностями производства и экономическими возможностями конкретной национальной системы охраны здоровья.

Из результатов исследований, опубликованных за последние десять лет, становится очевидным, что анатомическая тотальная замена коленного сустава широко применяется в клинической практике с 95% успеха с учетом наблюдений в течение 5 - 10 лет после операции (Rybka V. et al., 1993). [http://www.ortopedica.org/page4.htm]

При размерной обработке высокопрочных керамических материалов особое влияние на точность профиля оказывает износ инструмента. Определить искажение формы инструмента можно, рассчитав длину его пути, которую должен пройти инструмент до момента коррекции его формы. В случае формообразования рабочих поверхностей эндопротеза коленного сустава это является достаточно сложной задачей, поскольку инструмент заданной (сферической) формы совершает сложные формообразующие движения и инструмент имеет, при этом, 4 степени свободы.

Длина пути инструмента, при формировании поверхностей трения описывается системой уравнений (1):

                                                      (1)

Каждые из уравнений -  и  описывается системой уравнений, и они являются кусочнозаданными функциями. В зависимость от задаваемых параметров фасонной поверхности обрабатываемой детали, инструмента, его размера и параметров процесса обработки величина пути инструмента, который он проходит до коррекции его формы может иметь различные значения. От правильности задания исходных расчетных параметров геометрии поверхности детали, и инструмента, и параметров процесса зависит, и точность определения времени и коррекции формы инструмента.

Длина участков кривых, задаваемых некоторыми функциями  и  на промежутке между двумя значениями их аргументов х₀ и х₁ и у₀ и у₁ определяется путем их интегрирования. Решение данной задачи математического анализа приведено в формуле (2). Следует обратить внимание, что для получения результата необходимо применить одновременно, и операцию численного интегрирования, и дифференцирования.

                                      (2)

И так, длина пути, которую проходит ось инструмента при формировании фасонной поверхности будет равна (3).

          (3)

С учетом формы и размеров инструмента (Рис. 1) можно рассчитать длину пути, которую проходить каждая точка инструмента при формировании фасонной поверхности.

Рис. 1. - Схема расчета параметров инструмента.

Задавая конкретное значение величины h относительно центра сферической поверхности инструмента, на которой проводим секущую плоскость, мы можем получить значение радиуса сферической поверхности в данной плоскости. Таким образом, длина пройденного пути произвольно заданной точки инструмента в сечении, проведенном перпендикулярно оси его вращения, на высоте h определяется по формуле (4):

               (4)

где r может изменяться от 0 до R инструмента в зависимости от величины h.

С учетом количества двойных движений инструмента и продольной его подачи (рис. 2) полная длина пути точки инструмента будет определена как (5):

  (5)

где  - длина обрабатываемой поверхности детали.

- продольная подача инструмента.

Рис. 2. Определение количества проходов до полной обработки поверхности детали.

Зная частоту вращения инструмента, скорость его перемещения относительно формируемой фасонной поверхности в двух взаимно перпендикулярных плоскостях можно определить общую скорость перемещения i-ой точки инструмента относительно формируемой фасонной поверхности (6):

                            (6)

где  - задаются;

Тогда путь, пройденный инструментом до полной обработки детали, будет определен по формуле (7):

 (7)

Для примера рассмотрим расчет длины пути инструмента при формировании рабочей поверхности коленного сустава с заданием лекальных кривых кусочнозаданными функциями на основании кривых второго порядка.

Данная лекальная кривая на основе кусочнзаданных функций описываемых окружностями может быть описана следующей системой уравнений (8):

      (8)

При

В результате проведенных расчетов получен график лекальной кривой (рис. 3).

Рис. 3. График лекальной кривой на основании кусочнозаданной функции описанной окружностями.

в статье [1] рассмотрен пример расчета и описания лекальной кривой для построения математической модели лекальной поверхности коленного сустава исходя из ограничения, что форма инструмента и траектория его перемещения есть ни что иное, как дуги окружностей (частный пример реализации методики расчета лекальной кривой предложенной автором работы [2] Е.А. Стародетко).

Более подробно рассмотрим случай расчета и построения лекальной кривой на основе кусочнзаданных функций описываемых кривыми второго порядка применительно к рабочей поверхности эндопротеза коленного сустава.

Для обобщенного случая расчета и построение лекальной кривой изначально зададим ее тремя функциональными зависимости (9):

                         (9)

Лекальная кривая является кусочнозаданной и описывается системой уравнений (9) представляющих собой кривые второго порядка произвольной формы (параболы, эллипсы и т.д.).

Для простоты проведения расчетов зададимся полиномами имеющими вид (10):

                          (10)

Для расчета и построения лекальной кривой необходимо изначально определить коэффициенты системы уравнений (10), определить координаты характеристических опорных точек и построить по полученным данным три кривые как указанно на расчетной схеме (рис. 4).

Рис. 4. – Лекальная кривая на основе кусочнзаданных функций описываемых кривыми второго порядка.

Для обобщенного расчета уравнения лекальной кривой необходимо провести анализ ее составляющих – подбазисов и координат опорных характеристических точек лекальной кривой.

На основании таблиц приведенных в [3] составляем системы уравнений позволяющих рассчитать коэффициенты полиномов и координаты точек пересечения.

Таблица 1 – Касательные, нормали поляры и фокусы кривых второго порядка

Таблица 2 - Эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения и основные формулы